Question

17．为支持”2015福州全国青年运动会”，某班拟选派4人为志愿者，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等．
（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？
（2）设至少有n名男同学当选的概率为P_n，当P_n≥$\frac{3}{4}$时，n的最大值？

Answer 1

分析 （1）本题是一个等可能事件的概率，每位候选人当选的机会均等，9名同学中选4人共有C₉⁴种选法，其中女生1人且男生3人当选共有C₄¹C₅³种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果．
（2）根据题意写出至少有n名男同学当选的概率为P_n的值，求出n=4，3，2的概率值，把概率值同$\frac{3}{4}$进行比较，即可得到要使n的最大值．

解答 解：（1）由于每位候选人当选的机会均等，9名同学中选4人共有C₉⁴=63种选法，其中女生1人且男生3人当选共有C₄¹C₅³=20种选法，
故可求概率P=$\frac{20}{63}$，
（2）∵P₄=$\frac{{C}_{5}^{4}}{{C}_{9}^{5}}$=$\frac{5}{126}$$＜\frac{1}{2}$，P₃=$\frac{{C}_{5}^{4}}{{C}_{9}^{5}}$+$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{4}^{1}}{{C}_{9}^{5}}$=$\frac{5}{126}$+$\frac{20}{63}$=$\frac{5}{14}$$＜\frac{1}{2}$，P₂=P₃=$\frac{{C}_{5}^{4}}{{C}_{9}^{5}}$+$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{4}^{1}}{{C}_{9}^{5}}$+$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{5}}$=$\frac{5}{14}$+$\frac{10}{21}$=$\frac{5}{6}$＞$\frac{3}{4}$
∴要使${P_n}≥\frac{3}{4}$，n的最大值为2．

点评 本题考查等可能事件的概率，考查探究当男生数目不同时，对应的概率的取值范围，属于中档题．