Question

3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
（1）求证：A、B、C三点共线；
（2）已知A（1，cosx）、B（2cos²$\frac{x}{2}$，cosx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]，若f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）|$\overrightarrow{AB}$|的最小值为-1，求实数m值．
（3）若点A（2，0），在y轴正半轴上是否存在点B满足${\overrightarrow{OC}}^{2}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$，若存在求出点B；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过对$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$变形可得$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，进而可得结论；
（2）通过A（1，cosx）、B（2cos²$\frac{x}{2}$，cosx）计算可得$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=（1+$\frac{2}{3}$cosx，cosx）、$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=1+$\frac{2}{3}$cosx+cos²x、|$\overrightarrow{AB}$|=cosx，进而可得f（x）=1+cos²x-2mcosx，利用换元法及二次函数的性质即得结论；
（3）通过设B（0，t）（t＞0）及$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}$，计算可得C（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$t），利用${\overrightarrow{OC}}^{2}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$计算即可．

解答 （1）证明：∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}$，
即A、B、C三点共线；
（2）解：∵A（1，cosx）、B（2cos²$\frac{x}{2}$，cosx），
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$
=$\frac{1}{3}$（1，cosx）+$\frac{2}{3}$（2cos²$\frac{x}{2}$，cosx）
=$\frac{1}{3}$（1，cosx）+$\frac{2}{3}$（1+cosx，cosx）
=（1+$\frac{2}{3}$cosx，cosx），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=（1，cosx）•（1+$\frac{2}{3}$cosx，cosx）=1+$\frac{2}{3}$cosx+cos²x，
又∵$\overrightarrow{AB}$=（1+cosx，cosx）-（1，cosx）=（cosx，0），
∴|$\overrightarrow{AB}$|=cosx，
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）|$\overrightarrow{AB}$|
=1+$\frac{2}{3}$cosx+cos²x-（2m+$\frac{2}{3}$）cosx
=1+cos²x-2mcosx，
设cosx=t，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可知t∈[0，1]，
∴y=t²-2mt+1=（t-m）²+1-m²，
当m＜0时，当t=0有y_min=1≠-1；
当0≤m≤1时，当t=m有y_min=1-m²=-1，∴m=$\sqrt{2}$（舍）；
当m＞1时，当t=1有y_min=2-2m=-1，∴m=$\frac{3}{2}$；
综上得m=$\frac{3}{2}$；
（3）结论：在y轴正半轴上存在点B（0，$\sqrt{2}$）满足${\overrightarrow{OC}}^{2}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$．
理由如下：
设B（0，t）（t＞0），由（1）知$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}$，
又∵A（2，0），∴C（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$t），
∴$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$t），$\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$t），$\overrightarrow{CB}$=（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$t），
∵${\overrightarrow{OC}}^{2}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$，
∴$\frac{4}{9}$+$\frac{4}{9}$t²=$\frac{8}{9}$+$\frac{2}{9}$t²，解得：t=$\sqrt{2}$，
∴在y轴正半轴上存在点B（0，$\sqrt{2}$）满足${\overrightarrow{OC}}^{2}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$．

点评 本题是一道平面向量与三角函数、二次函数的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．