Question

2．已知：命题p：?x∈R，x²+ax+1≥0，命题q：?x∈[-2，0]，x²-x+a=0，若命题p与命题q一真一假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：?x∈R，x²+ax+2≥0，可得△≤0，解得a范围．命题q：?x∈[-2，0]，x²-x+a=0，即a=x-x²，利用二次函数的单调性即可得出a的取值范围．再利用命题p与命题q一真一假，即可得出．

解答 解：对于命题p：?x∈R，x²+ax+2≥0，∴△=a²-4≤0，解得-2≤a≤2．
命题q：?x∈[-2，0]，x²-x+a=0，即a=x-x²=$\frac{1}{4}$-$（x-\frac{1}{2}）^{2}$∈[-6，0]．
若命题p与命题q一真一假，则$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤2}\\{a＜-6或a＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2或a＞2}\\{-6≤a≤0}\end{array}\right.$，
解得-6≤a＜-2，或0＜a≤2．
∴实数a的取值范围是[-6，-2）∪（0，2]．

点评 本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．