Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，∴

a2-b2

a2

=

1

4

∴a2=

4

3

b2
∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切．
∴b=

3

∴a²=4，b²=3
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程可得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0
设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁），
∴x₁+x₂=

32k2

4k2+3

，x₁x₂=

64k2-12

4k2+3

又直线AE的方程为y-y₂=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)
令y=0，则x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2

=

2× 64k2-12 4k2+3 -4× 32k2 4k2+3

32k2 4k2+3

=1
∴直线AE过x轴上一定点Q（1，0）．