【题目】如图,的边
边所在直线的方程为
满足
,点
在
边所在直线上且满足
.
(I)求边所在直线的方程;
(II)求的外接圆的方程;
(III)若点的坐标为
,其中
为正整数。试讨论在
的外接圆上是否存在点
使得
成立?说明理由.
【答案】(I);(II)
;(III)详见解析.
【解析】
(I)由又在
上且
,得AC⊥AB,结合T点坐标及直线AB的斜率,可求出AC边所在直线的方程;(II)结合(I)中结论,直线AB,AC的方程联立,得点A;由B、C两点关于M点对称,得△ABC的外接圆是以M为圆心,以AM为半径的圆;(III)若在△ABC的外接圆上存在点P,使得|PN|=|PT|成立,则P为线段NT的垂直平分线L与圆M的公共点.所以当L与圆M相离时,不存在点P;当L与圆M相交或相切时则存在点P.设N点坐标,点N到直线距离d与半径r=
比较,即可得到结论.
解: (I)
∴,又
在
上 ∴
,
为
,
又边所在直线的方程为
,,所以直线
的斜率为
.
又因为点在直线
上,
所以边所在直线的方程为
.即
.
(II)与
的交点为
,所以由
解得点
的坐标为
,
∵∴
∴为
斜边上的中点。即为
外接圆的圆心
又.
从外接圆的方程为:
.
(III)由,
,知
的斜率为
,线段
的中点为
线段的垂直平分线
为
即
圆的圆心
到直线
的距离为
i)当时,
,而
,由
,此时直线L与圆M相交,存在满足条件的点P.
ii)当时
,此时直线
与圆
相交,存在满足条件的点P.
iii)当时,
∴,此时直线
与圆
相离,不存在满足条件的点
.
综上:当n=1或2时,存在点P,当n时,不存在点P.
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【题目】如图,P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点,则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( )
A.①②③④
B.①③
C.①④
D.②④
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且满足: ①|a1|≠|a2|;
②r(n﹣p)Sn+1=(n2+n)an+(n2﹣n﹣2)a1 , 其中r,p∈R,且r≠0.
(1)求p的值;
(2)数列{an}能否是等比数列?请说明理由;
(3)求证:当r=2时,数列{an}是等差数列.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)和动直线l:y=kx+b(k,b是参变量,且k≠0.b≠0)相交于A(x1 , y2),N)x2 , y2)两点,直角坐标系原点为O,记直线OA,OB的斜率分别为kOAkOB= 恒成立,则当k变化时直线l恒经过的定点为( )
A.(﹣ p,0)
B.(﹣2 p,0)
C.(﹣ ,0)
D.(﹣ ,0)
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=2an﹣n.
(Ⅰ)证明数列{an+1}是等比数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记bn= +
,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】某商店为了更好地规划某种商品进货的量,该商店从某一年的销售数据中,随机抽取了组数据作为研究对象,如下图所示(
(吨)为该商品进货量,
(天)为销售天数):
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 | |
1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
(Ⅰ)根据上表数据在下列网格中绘制散点图;
(Ⅱ)根据上表提供的数据,求出关于
的线性回归方程
;
(Ⅲ)在该商品进货量(吨)不超过6(吨)的前提下任取两个值,求该商品进货量x(吨)恰有一个值不超过3(吨)的概率.
参考公式和数据:,
.
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【题目】如图,在边长为4的长方形ABCD中,动圆Q的半径为1,圆心Q在线段BC(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点,设向量 =m
+n
(m,n为实数),则m+n的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=cos(2x+φ),且 f(x)dx=0,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的一条对称轴为x=
B.存在φ使得f(x)在区间[﹣ ,
]上单调递减
C.f(x)的一个对称中心为( ,0)
D.存在φ使得f(x)在区间[ ,
]上单调递增
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【题目】已知椭圆C:
=1,直线l过点M(﹣1,0),与椭圆C交于A,B两点,交y轴于点N.
(1)设MN的中点恰在椭圆C上,求直线l的方程;
(2)设 =λ
,
=μ
,试探究λ+μ是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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