Question

（2007•河北区一模）三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直且PA=2

2

，PB=4，PC=2

3

，如果三棱锥的四个顶点都在同一球面上，那么这个球的球心到直线PB的距离为（　　）

• A．

  5

• B．5
• C．

  7

• D．

  3

Answer 1

分析：根据题意，以PA、PB、PC为长方体的长、宽、高，作长方体PABD-CEFG，连结BE、PE．可得三棱锥P-ABC的外接球就是长方体PABD-CEFG的外接球，球心是长方体的对角线的中点．O为BE中点，0₁为BP的中点，连结OO₁，利用三角形中位线定理和勾股定理，结合题中数据算出OO₁长，即可得到球心到直线PB的距离．

解答：解：以PA、PB、PC为长方体的长、宽、高，作长方体PABD-CEFG
如图所示，连结BE、PE
∵三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，
∴长方体PABD-CEFG的外接球与三棱锥P-ABC的外接球是同一个球
可得球心为长方体对角线BE的中点，
设O为BE中点，0₁为BP的中点，连结OO₁
则O为三棱锥P-ABC的外接球心，
根据球的性质，可得OO₁⊥PB，OO₁长就是球心到直线PB的距离
∵△PBE中，OO₁是中位线
∴OO₁=

1

2

PE=

1

2

AC=

1

2

PA2+PC2

=

1

2

8+12

=

5

由此可得球心到直线PB的距离等于

5

故选：A

点评：本题给出三棱锥的外接球，求它的外接球心到直线PB的距离．着重考查了球的性质、长方体的外接球、三角形中位线定理和勾股定理等知识，属于中档．