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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且10sin2
    B+C
    2
    -5sin（2014π-A）=12，
    π
    4
    ＜A＜
    π
    2
    ．
    （1）求cosA的值；
    （2）若a=8，b=5，求向量
    BA
    在
    BC
    方向上的射影．
    考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的余弦函数
    专题：平面向量及应用
    分析：（1）首先，根据二倍角公式和诱导公式化简等式，然后，直接求解cosA=
    3
    5
    ．
    （2）首先，求解sinA=
    		1-cos2A
    =
    4
    5
    ，然后，求解c=
    bsinC
    sinB
    =3+4
    		3
    ，最后，结合射影的概念求解．
    解答： 解：（1）∵10sin2
    B+C
    2
    -5sin（2014π-A）=12，
    ∴10×
    1-cos(B+C)
    2
    -5sin(-A)=12    ，
    ∴5-5cos（π-A）+5sinA=12，
    ∴sinA+cosA=
    7
    5
    ，
    ∴sinA=
    7
    5
    -cosA，
    ∵sin2A+cos2A=1，
    ∴（
    7
    5
    -cosA）2+cos2A=1，
    ∴50cos2A-70cosA+24=0，
    ∴cosA=
    3
    5
    或cosA=
    4
    5
    ，
    ∵
    π
    4
    ＜A＜
    π
    2
    ．
    ∴0＜A＜
    		2
    2
    ，
    ∴cosA=
    3
    5
    ．
    ∴cosA的值
    3
    5
    ；
    （2）∵a=8，b=5，
    根据（1），cosA=
    3
    5
    ．
    ∴sinA=
    		1-cos2A
    =
    4
    5
    ，
    根据正弦定理，得
    a
    sinA
    =
    b
    sinB
    ，
    ∴sinB=
    b
    a
    sinA    =
    1
    2
    ，
    ∵sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
    =
    4
    5
    ×
    		3
    2
    +
    3
    5
    ×
    1
    2
    =
    3+4
    		3
    10
    ，
    ∵
    c
    sinC
    =
    b
    sinB
    ，
    ∴c=
    bsinC
    sinB
    =3+4
    		3
    ，
    ∴向量
    BA
    在
    BC
    方向上的射影|
    BA
    |cosB=（3+4
    		3
    ）×
    		3
    2
    =6+
    3
    		3
    2
    ，
    点评：本题重点考查了三角公式、解三角形、正弦定理、射影等知识，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若
    OP
    =λ
    OA
    +μ
    OB
    ，λμ=
    3
    16
    ，则该双曲线的离心率为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    △ABC中，已知A（-2，11），B（-4，5），C（6，0），求点A在BC上的投影坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，一个底面半径为
    		3
    的圆柱被与其底面所成角为30°的平面所截，其截面是一个椭圆C．
    （Ⅰ）求该椭圆C的长轴长；
    （Ⅱ）以该椭圆C的中心为原点，长轴所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求椭圆C的任意两条互相垂直的切线的交点P的轨迹方程；
    （Ⅲ）设（Ⅱ）中的两切点分别为A，B，求点P到直线AB的距离的最大值和最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设x，y，z为不全为零的实数，求证：（2yz+2zx+xy）≤
    		33
    +1
    4
    （x2+y2+z2）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    椭圆C的右焦点为F，右准线为l，离心率为
    		3
    2
    ，点A在椭圆上，以F为圆心，FA为半径的圆与l的两个公共点是B，D．
    （1）若△FBD是边长为2的等边三角形，求圆的方程；
    （2）若A，F，B三点在同一条直线m上，且原点到直线m的距离为2，求椭圆方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （Ⅰ）已知0＜x＜1，求证：
    lnx
    2
    ＜-
    1-x
    1+x
    ；
    （Ⅱ）已知k为正常数，且a＞0，曲线C：y=ekx上有两点P（a，eka），Q（-a，e-ka），分别过点P和Q作曲线C的切线，求证：两切线的交点的横坐标大于零．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽N个人的血，可以用两种方法进行．（1）将每个人的血分别去验，这就需N次．（2）按k个人一组进行分组，把从k个人抽出来的血混在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血液都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次．若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验．这样，这k个人的血总共要化验k+1次．假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的．
    （Ⅰ）设以k个人为一组时，记这k个人总的化验次数为X，求X的分布列与数学期望；
    （Ⅱ）设以k个人为一组，从每个人平均需化验的次数的角度说明，若p=0.1，选择适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数，并说明k取什么值时最适宜．（取ln0.9=-0.105）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知x，y为正实数且
    2
    x
    +
    1
    y
    =1，若x+2y≥m2-5m-6恒成立，则m范围是
     
    ．

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