Question

设x，y，z为不全为零的实数，求证：（2yz+2zx+xy）≤

33 +1

4

（x²+y²+z²）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：选作题,不等式

分析：只需考虑x，y，z为非负情况．设t＞0，根据基本不等式可得ty2+

z2

t

+tx2+

z2

t

+

x2

2

+

y2

2

≥2yz+2zx+xy，利用t+

1

2

=

2

t

可得t的值，即可证明结论．

解答： 证明：我们只需考虑x，y，z为非负情况．
设t＞0，根据基本不等式可得ty2+

z2

t

+tx2+

z2

t

+

x2

2

+

y2

2

≥2yz+2zx+xy，
∴（t+

1

2

）x²+（t+

1

2

）y²+

2z2

t

≥2yz+2zx+xy；
由t+

1

2

=

2

t

可得2t²+t-4=0，解得t=

33 -1

4

．
∴（2yz+2zx+xy）≤

33 +1

4

（x²+y²+z²）．

点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．