Question

如图，F₁，F₂是离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，抛物线y²=4x与椭圆C在第一象限的交点到x=-1的距离为-3+3

2

．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线x=-

1

2

上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F₂，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，由已知条件得

(-4+3 2 )2

2b2

+

-16+12 2

b2

=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设存在点M（-

1

2

，m），m≠0．设直线AB的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x12 2 +y1=1 x22 2 +y22=1

，得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•

y1-y2

x1-x2

=0，直线PQ的直线方程为y=-4mx-m．联立

y=-4mx-m x2 2 +y2=1

，得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．由此能求出存在两点M符合条件，坐标为M（-

1

2

，-

19

19

）和M（-

1

2

，

19

19

）．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁，F₂是离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
∴设椭圆C的方程为：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
设抛物线y²=4x和椭圆C的交点为（x，y），
∵抛物线y²=4x与椭圆C在第一象限的交点到x=-1的距离为-3+3

2

，
∴x=-4+3

2

，y²=-16+12

2

，
代入椭圆方程：

(-4+3 2 )2

2b2

+

-16+12 2

b2

=1，解得b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x=

1

2

，
此时P（-

2

，0），Q（

2

，0），

F2P

•

F2Q

=-1，不合题意．
当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M（-

1

2

，m），m≠0．
设直线AB的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x12 2 +y1=1 x22 2 +y22=1

，得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•

y1-y2

x1-x2

=0，
则-1+4mk=0，∴k=

1

4m

，此时，直线PQ的斜率为k₁=-4m，
PQ的直线方程为y-m=-4m（x+

1

2

），即y=-4mx-m．
联立

y=-4mx-m x2 2 +y2=1

，消去y，整理，得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．
∴x1+x2=-

16m2

32m2+1

，x₁x₂=

2m2-2

32m2+1

，
由题意

F2P

•

F2Q

=0，
∴

F2P

•

F2Q

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+（4mx₁+m）（4mx₂+m）
=（1+16m²）x₁x₂+（4m²-1）（x₁+x₂）+1+m²
=

(1+16m2)(2m2-2)

32m2+1

+

(4m2-1)(-16m2)

32m2+1

+1+m²
=

19m2-1

32m2+1

=0，解得m=±

19

19

．
∵M在椭圆内，
∴m²＜

7

8

，∴m=±

19

19

符合条件．
综上所述，存在两点M符合条件，坐标为M（-

1

2

，-

19

19

）和M（-

1

2

，

19

19

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．