Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）利用线线垂直证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明平面PAD⊥平面PAB；
（II）过P作PH⊥BA，交BA的延长线于H，可证PH⊥平面ABCD，求得PH，利用棱锥的体积公式计算；
（III）由（II）可证∠PAH为PC与平面ABCD所成的角，求得PC的长，在Rt△PHC中，求sin∠PCH的值．

解答： 解：（I）证明：∵∠PBC=90°，∴BC⊥PB，
∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又AB∩PB=B，
∴BC⊥平面PAB，∵AD∥BC，
∴AD⊥平面PAB，AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB；
（II）过P作PH⊥BA，交BA的延长线于H，
∵AD⊥平面PAB，∴PH⊥AD，AD∩BA=A，
∴PH⊥平面ABCD，∵，∠PAB=120°，PA=1，
∴AH=

1

2

，PH=

3

2

，∴V_P-ABCD=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

；
（III）连接CH，∵PH⊥平面ABCD，∴CH为PC在平面ABCD中的射影，
∴∠PAH为PC与平面ABCD所成的角，
PB=

PH2+BH2

=

3 4 + 25 4

=

7

，
PC=

7+1

=2

2

，
在Rt△PHC中，sin∠PCH=

PH

PC

=

3 2

2 2

=

6

8

．
∴直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为

6

8

．

点评：本题考查了面面垂直的证明，考查了棱锥的体积计算及直线与平面所成角的求法，考查了学生的空间想象能力及推论论证能力，综合性强．