Question

甲乙两个学校高三年级学生比为11：10，为了了解两个学校全体高三年级学生在省统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．
甲校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	2	3	10	15
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
频数	15	x	3	1

乙校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	1	2	9	8
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
频数	10	10	y	3

（1）计算x，y的值，并根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率；
（2）若把频率作为概率，现从乙校学生中任选3人，求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数，依据频率分布表估计出两个学校的优秀率．
（2）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3．结合变量对应的事件和ξ～B（3，

2

5

），写出变量的概率，做出变量的分布列，再求出变量的期望值．

解答： 解：（1）依题甲校抽取55人，乙校抽取50，故x=6，y=7；
甲校优秀率为

10

55

=

2

11

，乙校优秀率为

20

50

=

2

5

；
（2）ξ=0，1，2，3，ξ～B(3，

2

5

)，P(ξ=0)=

C

0 3

(

2

5

)0(1-

2

5

)3=

27

125

；P(ξ=1)=

C

1 3

(

2

5

)1(1-

2

5

)2=

54

125

；P(ξ=2)=

C

2 3

(

2

5

)2(1-

2

5

)1=

36

125

；P(ξ=3)=

C

3 3

(

2

5

)3(1-

2

5

)0=

8

125

；
分布列：

ξ	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

期望：E(ξ)=3×

2

5

=

6

5

．

点评：本题考查频数分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．