Question

已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x+

3

2

）=-f（x），且函数y=f（x-

3

4

）为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f（x）的最小正周期是

3

2

；
②函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称；
③函数f（x）为R上的偶函数；
④函数f（x）为R上的单调函数．
其中真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数的周期性,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由“f（x+

3

2

）=-f（x）”可得周期为3，由“且函数y=f（x-

3

4

）为奇函数”可得y=f（x）的对称性，然后两者结合以及利用代数变换或图象变换对四个选项做出判断．

解答： 解：∵对任意的x∈R，函数f（x）满足条件f（x+

3

2

）=-f（x），∴f（x+3）=f（x+

3

2

+

3

2

）=-f（x+

3

2

）=f（x），∴f（x）的最小正周期是3，故①④是假命题；
∵函数y=f（x-

3

4

）为奇函数，∴y=f（x-

3

4

）的图象关于原点对称，将y=f（x-

3

4

）的图象向左平移

3

4

个单位得y=f（x）的图象，∴函数f（x）的图象关于（-

3

4

，0）对称，故②是真命题；
∵y=f（x-

3

4

）为奇函数，∴f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，令t=x-

3

4

，代入上式得f（-t-

3

2

）=-f（t），即f（-x-

3

2

）=-f（x），结合f（x+

3

2

）=-f（x），∴f（-x-

3

2

）=-f（x+

3

2

），再令y=x+

3

2

，则由上式得f（-y）=f（y）恒成立，所以y=f（x）是偶函数，故③是真命题．所以，真命题共两个．
故选B

点评：本题综合考查了抽象函数的奇偶性、周期性，因为没有具体的解析式，所以准确理解每个关系式的意义是解题关键，能结合图象理解的尽量结合图象，使问题直观化，具体化．