Question

若函数f（x）=

1 x+a ， x＜0 ex-bx， x≥0

有且只有一个零点，则实数b等于（　　）

• A、-e
• B、-1
• C、1
• D、e

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：先将原问题转化为y=e^x与y=bx的图象只有一个交点的问题，作出图象，发现当且仅当y=e^x与y=bx相切时有一个交点．从而求出实数b的取值范围；

解答： 解；当x＜0时，
f（x）=

1

x+a

，显然无交点；
当x≥0时，
f（x）=e^x-bx，
令g（x）=e^x，h（x）=bx，
将问题转化为g（x）与h（x）的交点问题，
当b＜0时，作出图象，发现不满足条件；
当b≥0时，作出图象，发现当且仅当两直线相切时有一个交点，
设切点为（x，y），则

y=ex y=bx ex=b

，解得：

x=1 b=e y=e

，
∴b=e．
故选：D．

点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合思想，是一道基础题．