Question

实数x、y满足x²+y²-2x=0，则x²+y²-12x-8y的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：要求的式子表示点（x，y）与点A（6，4）之间距离的平方减去52．求出|AC|，可得点（x，y）与点A（6，4）之间距离最大值为|AC|+1，最小值为|AC|-1，可得要求式子的范围．

解答： 解：x²+y²-2x=0 即（x-1）²+y² =1，故点（x，y）在以C（1，0）为圆心，半径等于1的圆上．
而 x²+y²-12x-8y 即（x-6）²+（y-4）²-52，
表示点（x，y）与点A（6，4）之间距离的平方减去52．
由于|AC|=

(6-1)2+(4-0)2

=

41

，
故点（x，y）与点A（6，4）之间距离最大值为

41

+1，最小值为

41

-1．
故x²+y²-12x-8y的最大值为(

41

+1)2-52=42+2

41

-52=2

41

-10，
最小值为 (

41

-1)2-52=42-2

41

-52=-2

41

-10，
故x²+y²-12x-8y的取值范围是[-2

41

-10，2

41

-10]，
故答案为：[-2

41

-10，2

41

-10]．

点评：本题主要考查圆的标准方程、两点间的距离公式，注意要求式子的几何意义，属于中档题．