Question

对某校高二年级学生中学阶段参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图，

分组	频数	频率
[5，15）	10	0.25
[15，25）	26	0.65
[25，35）	3	P
[35，45）	m	0.025
合计	M	1

（Ⅰ）请写出表中M，m，P及图中a的值；
（Ⅱ）请根据频率分布直方图估计这M名学生参加社区服务的次数的众数与中位数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于25次的学生中任选2人，求恰有一人参加社区服务次数落在区间[35，45）内的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,频率分布直方图,众数、中位数、平均数

专题：概率与统计

分析：（I）利用[15，25）内的频数是26，频率是0.65，求出样本的容量，再利用频数之和为样本容量，频率之和为1，求M，m，P及a值；
（II）M名学生参加社区服务的次数的众数约为频率最高组的组中值，中位数为平分概率分布直方图的值；
（III）求出参加社区服务次数不少于25次的学生数，写出任选2人的所有基本事件，找出恰有一人参加社区服务次数在区间[35，45）内的基本事件，代入概率公式计算．

解答： 解：（Ⅰ）由分组[15，25）内的频数是26，频率是0.65知，

26

M

=0.65，所以M=40，
因为频数之和为40，所以10+26+3+m=40，m=1，
p=

3

M

=

3

40

=0.075，
因为a是对应分组[15，25）的频率与组距的商，
所以a=

0.65

5

=0.13；
（Ⅱ）M名学生参加社区服务次数的众数为频率最高组的组中值，
即[15，25）的组中值，
故M名学生参加社区服务次数的众数约为20，
又∵[5，15）的频率为0.25＜0.5，
[5，25）的累积频率为0.25+0.65＞0.5，
故M名学生参加社区服务次数的中位数约为15+

0.25

0.65

×10≈18.85，即19次，
（Ⅲ）这个样本中，参加社区服务次数不少于25次的学生共有m+3=4人
设在区间[25，35）内的人为a₁，a₂，a₃，在区间[35，45）内的人为b，
则任选2人共6种情况：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b），（a₂，b），（a₃，b），
恰有一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的情况共有3种：（a₁，b），（a₂，b），（a₃，b），
所以，恰有一人参加社区服务次数在区间M内的概率为p=

3

6

=

1

2

．

点评：本题考查了由频率分布直方图求平均数，考查了古典概型的概率计算，考查了学生的读图努力与数据处理能力，读懂频率分布表是关键．