Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A，B，离心率为

1

2

，且椭圆经过定点（

3

，

3

2

），
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点M（x₀，y₀）（x₀≠1，y₀＞0）是圆O：x²+y²=a²上的任意一点，连结AM，交椭圆C于P，记直线MF，PB的斜率分别为k₁，k₂．
①当k₂=-

3

4

时，求k₁的值；
②求

k1

k2

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c a = 1 2 3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）①由题意知M（x₀，y₀），（x₀≠1，y₀＞0），A（-2，0），B（2，0），F（1，0），P（2cosθ，

3

sinθ），从而得到k1=

y0

x0-1

，k2=

3 sinθ

2cosθ-2

=-

3

4

，x02+y02=4，由此能求出k₁．
②设PA的斜率为k₃，则k3=

3 sinθ

2cosα+2

=

y0

x0+2

，由此得到

k1

k2

=

k1k3

k2k3

=

y0 x0-1 • y0 x0+2

- 3 4

=-

4

3

（-1+

1

x0-1

），从而利用x₀∈（-2，1）∪（1，2），能求出

k1

k2

∈(-∞，0)∪(

16

9

，+∞)．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，
离心率为

1

2

，且椭圆经过定点（

3

，

3

2

），
∴

c a = 1 2 3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）①由题意知M（x₀，y₀），（x₀≠1，y₀＞0），
A（-2，0），B（2，0），F（1，0），P（2cosθ，

3

sinθ），
∴k1=

y0

x0-1

，k2=

3 sinθ

2cosθ-2

=-

3

4

，x02+y02=4，
解得cosθ=-

1

7

，或cosθ=1（舍），∴sinθ=

4 3

7

，
∵点P在直线AM上，∴

3 sinθ

2cosθ+2

=

y0

x0+2

，
解得x₀=0，y₀=2，或x₀=-2，y₀=0（舍），
∴k1=

y0

x0-1

=

2

0-1

=-2．…（8分）
②设PA的斜率为k₃，则k3=

3 sinθ

2cosα+2

=

y0

x0+2

，
∴k2k3=

3 sinθ

2cosθ-2

•

3 sinθ

2cosθ+2

=-

3

4

，
∴

k1

k2

=

k1k3

k2k3

=

y0 x0-1 • y0 x0+2

- 3 4

=-

4

3

•

y0

x0-1

•

y0

x0+2

=-

4

3

•

2-x0

x0-1

=-

4

3

（-1+

1

x0-1

），
∵x₀∈（-2，1）∪（1，2），
∴

k1

k2

∈(-∞，0)∪(

16

9

，+∞)．…（16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线斜率的求法，考查两直线斜率的比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．