Question

已知函数f（x）=x³-mx²-x+1，其中m为实数．
（1）当m=1时，求函数f（x）在区间[-1，

4

3

]上的最大值和最小值；
（2）若对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-

7

4

恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）利用导数数判断函数的单调性，利用单调性求出函数的极值和区间端点值，从而求出函数的最大值和最小值；
（2）分x＞0，x=0，x＜0三类进行讨论，分别求出在给定区间上的最值，解决恒成立问题．

解答： 解：（1）∵当m=1时，f（x）=x³-x²-x+1，
∴f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
当x＜-

1

3

或x＞1时f′（x）＞0，当-

1

3

＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，-

1

3

）和（1，

4

3

]上单调递增，在（-

1

3

，1）上单调递减，
又f（-1）=0，f(-

1

3

)=

32

27

，f（1）=0，f(

4

3

)=

7

27

，
∴f（x）在区间上的最大值为f(-

1

3

)=

32

27

，最小值为f（1）=0；
（2）f′（x）=3x²-2mx-1⇒3x²-2mx-1≥|x|-

7

4

①当x=0时，m∈R；
②当x＞0时，3x2-(2m+1)x+

3

4

≥0⇒2m+1≤3(x+

1

4x

)，在x＞0时恒成立，
∵3(x+

1

4x

)min=3，此时x=

1

2

，∴2m+1≤3，∴m≤1；
③当x＜0时，3x2-(2m-1)x+

3

4

≥0即2m-1≥3(x+

1

4x

)，在x＜0时恒成立，
∵3(x+

1

4x

)max=-3，此时x=-

1

2

，∴2m-1≥-3，∴m≥-1；
综上得m的取值范围为[-1，1]．

点评：本题考查了利用导数判断函数的单调区间，从而求最值，利用最值解决恒成立问题，运用了分类讨论思想．是一道导数应用的综合题，属于难题．