Question

如图，四边形ABCD、BCFE、CDGF都是边长为1的正方形，M为棱AE上任意一点．
（Ⅰ）若M为AE的中点，求证：AE⊥面MBC；
（Ⅱ）若M不为AE的中点，设二面角B-MC-A的大小为α，直线BE与平面BMC所成的角为β，求|

sin(β- π 4 )

cosα

|的值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）根据AB=AE，M是AE的中点，推断出MB⊥AE，又有BC⊥AB，BC⊥BE，根据线面垂直的判定定理知BC⊥平面ABE，进而可知BC⊥AE，最后根据线面垂直的判定定理知．AE⊥平面MBC．
（Ⅱ）以B为原点，BA，BC，BE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设M的坐标，及平面MBC的法向量为

n

，根据

BM • n =0 BC • n =0

，推断出

λx+(1-λ)z=0 y=0

，令x=λ-1，z=λ解得

n

，显然能求得平面MAC的法向量

m

，进而分别表示出sinβ和cosα，带入|

sin(β- π 4 )

cosα

|即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵AB=AE，M是AE的中点，
∴MB⊥AE，
又BC⊥AB，BC⊥BE，
∴BC⊥平面ABE，
∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面MBC．
（Ⅱ）以B为原点，BA，BC，BE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∵M在AE上，设M（λ，0，1-λ）（0≤λ≤1），
设平面MBC的法向量为

n

=（x，y，z），∵

BM • n =0 BC • n =0

，
∴

λx+(1-λ)z=0 y=0

，令x=λ-1，z=λ，解得

n

=（λ-1，0，λ），
显然平面MAC的法向量

m

=（1，1，1），
∴|cosα|=

| n • m |

| n| •| m|

=

|2λ-1|

3 (λ-1)2+λ2

，
∴sinβ=

| BE • n|

| BE| •| n|

=

|λ|

(λ-1)2+λ2

，
∴|

sin(β- π 4 )

cosα

|=

2 2 |sinβ-cosβ|

cosα

=

2 2 | λ (λ-1)2+λ2 - 1-λ (λ-1)2+λ2 |

|2λ-1| 3 • (λ-1)2+λ2

=

6

2

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理，法向量的应用，以及三角函数恒等变换的应用．综合性强，计算量大，属于难度较大的题．