Question

已知直角梯形ABCD的下底与等腰直角三角形ABE的斜边重合，AB⊥BC，且AB=2CD=2BC（如图1），将此图形沿AB折叠成直二面角，连接EC、ED，得到四棱锥E-ABCD（如图2）．
（1）求证：在四棱锥E-ABCD中，AB⊥DE．
（2）设BC=1，求点C到平面EBD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）作AB的中点F，连结EF，DF，根据AB=2CD推断出BE=CD=BC又BE∥CD，推断出四边形BCDE为正方形，推断出DF⊥AB，根据BE=AE，F为AB的中点，推断出EF⊥AB，进而利用线面垂直的判定定理推断出AB⊥平面DEF，进而可知AB⊥DE．
（2）根据BC，分别求得AB，BE，DB，EF，DF，判断出△BDE为等边三角形，边长为

2

，求得其面积，最后根据S_E-BCD=S_C-BDE，求得点C到平面EBD的距离．

解答： 解：（1）作AB的中点F，连结EF，DF，
∵AB=2CD，
∴BE=CD=BC，
∵BE∥CD，
∴四边形BCDE为正方形，
∴DF⊥AB，
∵BE=AE，F为AB的中点，
∴EF⊥AB，
∴AB⊥平面DEF，
∵DE?平面DEF，
∴AB⊥DE．
（2）∵BC=1，
∴AB=2BC=2，BE=

2

2

=

2

，BD=

2

BC=

2

，FE=BF=1，DF=BC=1
∴DE=

2

EF=

2

，
∴△BDE为等边三角形，边长为

2

，
∴S_△BDE=

1

2

×

6

2

×

2

=

3

2

．
∵EF⊥AB，平面EAB⊥平面ABCD，
∴EF⊥面ABCD，即EF为点E到平面ABCD的距离，
∴S_E-BCD=

1

3

•EF•S_△BCD=

1

3

×1×

1

2

=

1

6

，
设点C到平面EBD的距离为d，
则S_E-BCD=

1

3

•d•S_△BDE=

1

3

•d•

3

2

=

1

6

，
∴d=

3

3

，即点C到平面EBD的距离为

3

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理及性质，棱锥的体积，点到面的距离的计算．在第二问中利用了等体积法求得点到面的距离．