Question

某家电生产企业市场营销部对本厂生产的某种电器进行了市场调查，发现每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤2，则销售利润为0元；若2＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元，设每台该种电器的无故障使用时间T≤2，2＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别是P₁，
P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且P₂=P₃．
（Ⅰ）求P₁，P₂，P₃的值；
（Ⅱ）记X表示销售两台该种电器的销售利润总和，求X的分布列及期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）根据题目中所给的三种情况发生的概率P₁，P₂，P₃之间的关系，写出关于三个概率的关系式，即三个概率之和是1，又两个概率是一元二次方程的解，根据根和系数之间的关系，写出结果．
（2）X的可能取值为0，100，200，300，400，结合变量对应的事件写出变量的分布列，做出数学期望．

解答： 解：（1）由已知P₁+P₂+P₃=1，
∵P₂=P₃，∴P₁+2P₂=1
∵P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，
∴P₁+P₂=

3

5

，
∴P₁=

1

5

，P₂=P₃=

2

5

；
（2）X的可能取值为0，100，200，300，400，
P（X=0）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，
P（X=100）=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

，
P（X=200）=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P（X=300）=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P（X=400）=

2

5

×

2

5

=

4

25

．
∴随机变量X的分布列为

X	0	100	200	300	400
P	1 25	4 25	8 25	8 25	4 25

销售利润总和的期望为EX=0×

1

25

+100×

4

25

+200×

8

25

+300×

8

25

+400×

4

25

=240元．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查概率的性质，考查一元二次方程根和系数之间的关系，是一个综合题目．