Question

在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中a²+b²≠0且ω＞0．设f（x）=

OA

•

OB

．
（Ⅰ）若a=

3

，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在区间[0，π]内的解集；
（Ⅱ）根据本题条件我们可以知道，函数f（x）的性质取决于变量a、b和ω的值．当x∈R时，试写出一组a，b，ω值，使得函数f（x）满足“图象关于点（

π

3

，0）对称，且在x=

π

6

处f（x）取得最小值”．（请说明理由）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意可得当a=

3

，b=1，ω=2时，由f（x）=1，可得sin（2x+

π

3

）=

1

2

，可得2x+

π

3

=2kπ+

π

6

，或2x+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈z．再结合x∈[0，π]求得f（x）=1在[0，2π]内的解集．
（2）由f（x）=

OA

•

OB

=

a2+b2

sin（ωx+φ），设周期 T=

2π

ω

．由题意可得

π

3

-

π

6

=

T

4

+

n

2

T，即ω=6n+3，n∈N，由条件求得 a=0，

b

|b|

=±1．再分（i）当 b＞0，a=0时、（ii）当b＜0 a=0时两种情况，分别求得一组a，b，ω值，从而得出结论．

解答： 解：（1）由题意可得f（x）=

OA

•

OB

=a•cosωx+b•sinωx，
当a=

3

，b=1，ω=2时，由f（x）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）=1，
可得sin（2x+

π

3

）=

1

2

，2x+

π

3

=2kπ+

π

6

，k∈z，或2x+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈z．
求得 x=kπ-

π

12

，或 x=kπ+

π

4

，k∈z．
又因为x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]，故f（x）=1在[0，2π]内的解集为{

π

4

，

11π

12

}．
（2）解：因为f（x）=

OA

•

OB

=

a2+b2

sin（ωx+φ），设周期 T=

2π

ω

．
由于函数f（x）须满足“图象关于点（

π

3

，0）对称，且在x=

π

6

处f（x）取得最小值”．
因此，根据三角函数的图象特征可知，

π

3

-

π

6

=

T

4

+

n

2

T，
故有

π

6

=

2π

ω

•

2n+1

4

，∴ω=6n+3，n∈N，
又因为，形如f（x）=

a2+b2

sin（ωx+φ）的函数的图象的对称中心都是f（x）的零点，
故需满足 sin（

π

3

ω+φ）=0，而当ω=6n+3，n∈N时，
因为

π

3

（6n+3）+φ=2nπ+π+φ，n∈N；所以当且仅当φ=kπ，k∈Z时，
f（x）的图象关于点（

π

3

，0）对称；此时，

sinφ= a a2+b2 =0 cosφ= b a2+b2 =±1

，
∴a=0，

b

|b|

=±1．
（i）当 b＞0，a=0时，f（x）=sinωx，进一步要使x=

π

6

处f（x）取得最小值，
则有f（

π

6

）=sin（

π

6

•ω）=-1，∴

π

6

•ω=2kπ-

π

2

，故ω=12k-3，k∈z．
又ω＞0，则有ω=12k-3，k∈N^*；
因此，由

ω=6n+3 ，n∈N ω=12k-3， k∈N

可得ω=12m+9，m∈N．
（ii）当b＜0 a=0时，f（x）=-sinωx，进一步要使x=

π

6

处f（x）取得最小值，
则有f（

π

6

）=-sin（

π

6

•ω）=-1 （

π

6

•ω）=2kπ+

π

2

ω=12k+3 k∈z；
又ω＞0，则有ω=12k+3，k∈N．
因此，由

ω=6n+3 ，n∈N ω=12k+3  ，k∈N

可得ω=12m+3，m∈N．
综上，使得函数f（x）满足“图象关于点（

π

3

，0）对称，且在x=

π

6

处f（x）取得最小值
的充要条件是“b＞0，a=0时，ω=12m+9，m∈N；或 当b＜0 a=0时，ω=12m+3，m∈N”．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、正弦函数的图象的对称性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．