Question

若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a_n}：a_n=2 [

n

2

]，n∈N^*其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[-1.3]=-2
（1）求证：{a_n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；
（2）求{a_n}的前2014项和S₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据条件求数列的通项公式，利用{a_n}为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，
（2）利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a_n}的前2014项和S₂₀₁₄．

解答： 解：（1）若n为偶数，不妨设n=2k，k∈Z，
则[

n

2

]=[k]=k=

n

2

，此时a_n=2 [

n

2

]=2

n

2

．
此时

an+2

an

=

2 n+2 2

2 n 2

=2为常数，此时数列{a_n}是公比为2，首项a₂=2的等比数列．
若n为奇数，不妨设n=2k-1，
则[

n

2

]=[

2k-1

2

]=k-1=

n+1

2

-1=

n-1

2

，则a_n=2[

n

2

]=2

n-1

2

．
此时

an+2

an

=

2 n+2-1 2

2 n-1 2

=2为常数，此时数列{a_n}是公比为2，首项a₁=1的等比数列．
即{a_n}为“亚等比数列，且a_n=

2 n-1 2 ，n=2k-1，k∈Z 2 n 2 ，n=2k，k∈Z

．
（2）∵a_n=

2 n-1 2 ，n=2k-1，k∈Z 2 n 2 ，n=2k，k∈Z

，奇数项是公比为2，首项a₁=1的等比数列，
偶数项是公比为2，首项a₂=2的等比数列，
∴{a_n}的前2014项和S₂₀₁₄=S_奇+S_偶=

1×(1-21007)

1-2

+

2×(1-21007)

1-2

=3•2¹⁰⁰⁷-3．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．