Question

在2014年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为

2

3

，且每题正确回答与否互不影响．
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；
（Ⅱ）试用统计知识分析比较两考生的通过能力．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,极差、方差与标准差

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）确定甲、乙两考生正确回答的题目个数的取值，求出相应的概率，可得分布列、数学期望；
（Ⅱ）由Eξ=Eη，知甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．由Dξ＜Dη，知ξ的取值比η的取值相对集中于均值2的周围，因此甲生的实际操作能力比乙生强．

解答： 解析：（I）设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
∴考生甲正确完成题数的分布列为

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．…..（4分）
又η～B（3，

2

3

），其分布列为P（η=k）=

C

k 3

•（

2

3

）^k•（

1

3

）^3-k，k=0，1，2，3；
∴Eη=np=3×

2

3

=2．…（6分）
（II）∵Dξ=（2-1）²×

1

5

+（2-2）²×

3

5

+（2-3）²×

1

5

=

2

5

，
Dη=npq=3×

2

3

×

1

3

=

2

3

，∴Dξ＜Dη．…..（8分）
∵P（ξ≥2）=

3

5

+

1

5

=0.8，P（η≥2）=

12

27

+

8

27

≈0.74，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）． …（10分）
从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．…（12分）

点评：本题考查概率的计算和分布列的求法，考查利用数学期望和方差分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．解题时要认真审题，注意数学期望和方差在实际问题中的灵活运用．