Question

【题目】如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.

(1)求证：BD⊥平面ACFE；

(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性质得BD⊥AC，故BD⊥平面ACFE；

（2）以O为原点建立坐标系，设CF=a，求出和平面BDE的法向量，利用直线FO与平面BED所成角的大小为45°，可得，即可求出a的值．

试题解析：

(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC.

∵AE⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥AE.

∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.

(2)以O为坐标原点，，的方向为x轴，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设CF＝a，则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(－1，0，a)(a＞0)，＝(－1,0，a)．

设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝1，则n＝(－2,0,1)，

由题意得sin 45°＝|cos〈，n〉|＝＝＝，

解得a＝3或a＝－.

由a＞0，得a＝3，

＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)，

∴cos〈，〉＝＝，

故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.