Question

（1）解关于x的不等式：（a²+a-1）x＞a²（1+x）+a-2（a∈R）；（2）如果x=a²-4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把原不等式右边的未知项移项到左边进行合并，同时右边的式子分解因式，然后根据a-1大于0，a-1等于0及a-1小于0三种情况，根据不等式的基本性质把x的系数化为1，分别求出原不等式相应的解集即可；
（2）解法一：分两种情况：a大于1时，根据相应的解集列出关于a的不等式组；同理a小于1时列出相应的不等式组，求出两不等式组解集的并集即可得到a的范围；
解法二：把x=a²-4代入原不等式中化简，得到关于a的不等式，画出相应的图形，根据图形即可得到满足题意的a的取值范围．

解答：解：（1）（a²+a-1）x＞a²（1+x）+a-2，
（a²+a-1）x-a²x＞a²+a-2，
（a-1）x＞a²+a-2，
（a-1）x＞（a-1）（a+2），
当a＞1时，解集为{x|x＞a+2}；
当a=1时，解集为∅；
当a＜1时，解集为{x|x＜a+2}；
（2）解法一：由题意，

a＞1 a+2＜a2-4

或

a＜1 a+2＞a2-4

，
分别化为：

a＞1 (a-3)(a+2)＞0

或

a＜1 (a-3)(a+2)＜0

，
解得：a＞3或-2＜a＜1，
则实数a的取值范围为（-2，1）∪（3，+∞）；
解法二：将x=a²-4代入原不等式，
并整理得：（a+2）（a-1）（a-3）＞0，
根据题意画出图形，如图所示：

根据图形得：实数a的取值范围为（-2，1）∪（3，+∞）．

点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了分类讨论及数形结合的思想，第二小题有两种解法：一种是利用转化的思想，讨论a大于1和a小于1，根据第一问求出的解集列出相应的不等式组；另一种是直接把x的值代入原不等式，借助图形来求解．