Question

对a、b∈R，记max{a，b}=

a，a≥b b，a＜b

，函数f（x）=max{|x+1|，|2x+5|}（x∈R）．
（1）求f（0），f（-3）；
（2）作出f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）=m有且仅有两个不等的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题中所给条件通过比较|x+1|、|2x+5|哪一个更大，先画出f（x）的图象，再求出f（x）当x=0或x=-3时的函数值，
（2）结合图象写出f（x）的单调区间．
（3）先据此函数的图象得到f（x）_min=f（-2）=1，然后根据图象交点的情况即可求出实数m的取值范围．

解答：解：f（x）图象如图中粗线所示…（4分）
（1）f（0）=max{1，5}=5，f（-3）=max{2，1}=2；…（4分）
（2）由图象可知f（x）的单调减区间为（-∞，-2]，单调增区间为[-2，+∞）；…（3分）
（3）f（x）_min=f（-2）=1，由f（x）图象可知当m＞1时方程f（x）=m有且仅有两个不等的解．…（3分）

点评：本题主要考查函数的最值及其几何意义．这种先给出定义，让根据条件求解析式是经常考到点．数形结合是关键．