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(2014·武汉模拟)已知点P是圆M:x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一动点,点N(0,m)是圆M所在平面内一定点,线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q.
(1)当P在圆M上运动时,记动点Q的轨迹为曲线Г,判断曲线Г为何种曲线,并求出它的标准方程.
(2)过原点斜率为k的直线交曲线Г于A,B两点,其中A在第一象限,且它在x轴上的射影为点C,直线BC交曲线Г于另一点D,记直线AD的斜率为k′,是否存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
(1)双曲线  -=1
(2)存在,m=
(1)因为|QN|=|QP|,
所以||QM|-|QN||=|PM|=2.
①当2<2m时,动点Q的轨迹曲线Г为以点M,N为焦点,2a=2为实轴的双曲线,其标准方程为-=1.
②当2>2m时,动点Q无轨迹.
(2)如图所示,

设A(x1,y1),D(x0,y0),则B(-x1,-y1),C(x1,0).
则y1=kx1.
直线BC的方程为y=(x-x1),即y=(x-x1).
联立化为(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2-8)=0.
所以-x1+x0=,
所以k′==
=-.
若存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1,
=1,
整理得m2=6,解得m=±(负值舍去).
因此存在m,且当m=时,满足题意.
练习册系列答案
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