Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，在(

1

2

，1)上单调递增，且满足f（-x）=f（x-1），给出下列结论：①f（1）=0；②函数f（x）的周期是2；③函数f（x）在(-

1

2

，0)上单调递增；④函数f（x+1）是奇函数．
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①由f（-x）=f（x-1），用赋值法求解．②由奇函数和f（-x）=f（x-1），可得f（x-1）=-f（x），进而有f（x+2）=f（x）得证．③由②知无法得知其性质．④函数f（x+1）的图象是由f（x）的图象向左平移1个单位，由f（x）的性质判断出它是奇函数．

解答：解：①∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（0）=0，
又∵f（-x）=f（x-1）
∴f（-1）=f（1）=0
正确．
②∵奇函数和f（-x）=f（x-1），
∴f（x-1）=-f（x），
∴f（x+2）=f（x）
∴函数f（x）的周期是2．
③由②知无法得知其性质，不正确．
④∵函数f（x+1）的图象是由f（x）的图象向左平移1个单位，
∵f（x）是奇函数，f（x-1）=-f（x），
∴f（1-x）=f（x），
即函数f（x）关于x=

1

2

对称，可得出（1，0）点也是对称中心
所以f（x+1）是奇函数，正确．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查抽象函数的基本性质，涉及到奇偶性，单调性，对称性，周期性．考查全面具体，要求平时学习掌握知识要扎实，灵活．