Question

【题目】已知，是动点，以为直径的圆与圆：内切.

（1）求的轨迹的方程；

（2）设是圆与轴的交点，过点的直线与交于两点，直线交直线于点，求证：三点共线.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）设出，根据相切得出关于的方程，由方程对应的几何意义得出的轨迹的方程；

（2）设出，，解出点坐标，从而得出的坐标，设过点的直线并与椭圆联立方程组，借助韦达定理进行化简、证明.

解：（1）设，

则的中点的坐标为，

因为圆与圆内切，点在圆内，

所以，

即，

整理得，

设，则，

即的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.

由，，

得，

所以的方程为.

（2）设，.

因为是圆与轴的交点，不妨设，，

则.

因为直线的方程为，

所以，则.

依题意，

因为直线过，斜率不为0，

故可设其方程为，

由

消去并整理得，

则，，

因为

，

所以，

故三点共线.