Question

（1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点，是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为，求椭圆的方程；

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.

（2）如图，已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；

 

（3）由抛物线弧：（）与第（1）小题椭圆弧：（）所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点，，且（），试用表示；并求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1） 

（2）利用；

（3）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）由的周长为得，

椭圆与双曲线：有相同的焦点，所以，

即，，椭圆的方程； 4分

（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，. 5分

当时，，，

即； 7分

当时，，，

即； 9分

所以为定值； 10分

（3）显然“盾圆”由两部分合成，所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类，由“盾圆”的对称性，不妨设在轴上方（或轴上）：

当时，，此时，； 11分

当时，在椭圆弧上，

由题设知代入得，

，

整理得，

解得或（舍去）. …12分

当时在抛物线弧上，

由方程或定义均可得到，于是，

综上，（）或（）；

相应地，， 14分

当时在抛物线弧上，在椭圆弧上，

； 15分

当时在椭圆弧上，在抛物线弧上，

； 16分

当时、在椭圆弧上，

； 17分

综上的取值范围是. 18分

考点：本题主要考查椭圆、双曲线、圆的标准方程，直线与椭圆、抛物线的位置关系，和差倍半的三角函数。

点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的定义及椭圆、双曲线的几何性质。（2）通过研究圆与圆的位置关系，证明了“定值”。（3）通过将点的坐标代入椭圆方程确定得到，利用三角函数性质，进一步确定得到步骤的范围。