Question

【题目】已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数．

（1）请写出函数与函数在的单调区间（只写结论，不证明）；

（2）求函数的最值；

（3）讨论方程实根的个数．

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是，函数的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）最小值，最大值；（3）当时，方程实根个数为，当时，方程实根个数为，当时，方程实根个数为，当时，方程实根个数为，当时，方程实根个数为.

【解析】

试题分析：（1）令，通过类比可知的单调递减区间是，单调递增区间是，同理，令，通过类比可得函数的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）化简，由（1）可知，与均在单调递减，在上单调递增，由此求得最大值和最小值；（3）对原方程因式分解得，所以或，下面对进行分类讨论函数的零点的情况.

试题解析：

（1）根据条件，

的单调递减区间是，单调递增区间是，

函数的单调递减区间是，单调递增区间是；

（2），

由（1）可知，与均在单调递减，在上单调递增，

则有函数在单调递减，在上单调递增，所以，

；

（3）由可得，所以有或，又函数在单调递减，在单调递增，而，

所以当时，方程无实数根；

当时，有一个实数根；

当，且即，方程有两个实数根；

当，方程有三个实数根；

当时，方程有四个实数根，

综上，①当时，方程实根个数为0；

②当时，方程实根个数为1；

③当时，方程实根个数为2；

④当时，方程实根个数为3；

⑤当时，方程实根个数为4．