Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，对于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1总成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{S_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）对于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1总成等差数列．可得2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1=$\frac{3}{2}$S_n+$\frac{3}{2}$a_n-2，化为a_n=3S_n-4，利用递推关系及其等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）对于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1总成等差数列．
∴2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1=$\frac{3}{2}$S_n+$\frac{3}{2}$a_n-2，化为a_n=3S_n-4，
∴a₁=3a₁-4，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n-1=3S_n-1-4，可得：a_n-a_n-1=3a_n，
化为${a}_{n}=-\frac{1}{2}$a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为-$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$2×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（II）T_n=$\frac{2[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{4}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．