Question

11．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AP}$的取值范围是[-20，4]．

Answer 1

分析 首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{AP}$的坐标，进行数量积的坐标运算便得出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AP}=-12cosθ-8$，这样根据-1≤cosθ≤1便可求出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AP}$的取值范围．

解答 解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则：
$A（-2，-2\sqrt{3}），B（2，-2\sqrt{3}）$；
点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；
∴设P（3cosθ，3sinθ）；
∴$\overrightarrow{BA}=（-4，0），\overrightarrow{AP}=（3cosθ+2，3sinθ+2\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AP}=-12cosθ-8$；
∵-1≤cosθ≤1；
∴-20≤-12cosθ-8≤4；
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AP}$的取值范围为[-20，4]．
故答案为：[-20，4]．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据坐标可以求向量的坐标，用三角函数表示圆上的点的坐标的方法，以及向量数量积的坐标运算，余弦函数的值域．