Question

1．已知集合M={x|x²-3x≤10}，N={x|x²-（3a+2）x+2a²+3a+1＜0}．若M∪N=M，则实数a的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，2]．

Answer 1

分析 解不等式求出M，N，根据M∪N=M，可得N⊆M，分三种情况分别求出满足条件的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：∵集合M={x|x²-3x≤10}={x|x²-3x-10≤0}=[-2，5]，
N={x|x²-（3a+2）x+2a²+3a+1＜0}={x|[x-（2a+1）][x-（a+1）]＜0}，
∵M∪N=M，
∴N⊆M，
当a＞0时，N=（a+1，2a+1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≥-2}\\{2a+1≤5}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤2，
当a=0时，N=∅，满足条件，
当a＜0时，N=（2a+1，a+1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+1≥-2}\\{a+1≤5}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{3}{2}$≤a＜0，
综上满足条件的实数a的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，2]
故答案为：[-$\frac{3}{2}$，2]

点评 本题考查的知识点是集合的并集及基运算，其中将M∪N=M转化为N⊆M是解答的关键．