Question

13．已知函数f（x）=|x-a|，其中a＞1．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式$\frac{f（x-2）-f（x+1）}{f（x-1）-f（x）}$＜$\frac{f（x-1）+f（x）}{f（x-2）}$的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=|x-2|，不等式$\frac{f（x-2）-f（x+1）}{f（x-1）-f（x）}$＜$\frac{f（x-1）+f（x）}{f（x-2）}$可化为：$\frac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}＜\frac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}$，利用零点分段法，可得不等式的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，则1，2为方程|f（2x+a）-2f（x）|=2的两根，求出相应的a值后，检验可得答案．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=|x-2|，
不等式$\frac{f（x-2）-f（x+1）}{f（x-1）-f（x）}$＜$\frac{f（x-1）+f（x）}{f（x-2）}$可化为：$\frac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}＜\frac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}$，
当x=$\frac{5}{2}$或x=4时，原不等式无意义，
（1）当x≤1时，不等式可化为：$\frac{-（x-4）+（x-1）}{-（x-3）+（x-2）}＜\frac{-（x-3）-（x-2）}{-（x-4）}$，即$3＜\frac{-2x+5}{-x+4}$，即-3x+12＜-2x+5，解得：x＞7，此时原不等式无解；
（2）当1＜x≤2时，不等式可化为：$\frac{-（x-4）-（x-1）}{-（x-3）+（x-2）}＜\frac{-（x-3）-（x-2）}{-（x-4）}$，即-2x+5$＜\frac{-2x+5}{-x+4}$，即2x²-11x+15＜0，解得：$\frac{5}{2}＜x＜3$，此时原不等式无解；
（3）当2＜x＜3且x≠$\frac{5}{2}$时，不等式可化为：$\frac{-（x-4）-（x-1）}{-（x-3）-（x-2）}＜\frac{-（x-3）+（x-2）}{-（x-4）}$，即4-x＜1，解得：x＞3此时原不等式无解；
（4）当3≤x＜4时，不等式可化为：$\frac{-（x-4）-（x-1）}{（x-3）-（x-2）}＜\frac{（x-3）+（x-2）}{-（x-4）}$，即（2x-5）（x-3）＞0，解得：x＞3，或x＜$\frac{5}{2}$，故3＜x＜4，
（5）当x＞4时，不等式可化为：$\frac{（x-4）-（x-1）}{（x-3）-（x-2）}＜\frac{（x-3）+（x-2）}{x-4}$，即3x-12＜2x-5，解得：x＜7，故4＜x＜7，
综上可得：不等式$\frac{f（x-2）-f（x+1）}{f（x-1）-f（x）}$＜$\frac{f（x-1）+f（x）}{f（x-2）}$的解集为（3，4）∪（4，7）；
（Ⅱ）若关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
则1，2为方程|f（2x+a）-2f（x）|=2的两根，
即1，2为方程||2x|-2|x-a||=2的两根，
即$\left\{\begin{array}{l}|2-2|1-a\left|\right|=2\\|4-2|2-a\left|\right|=2\end{array}\right.$
解得：a=1，a=-1，或a=3，
经检验当a=3时，不满足条件，
故a=±1

点评 本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，零点分段法，分类讨论思想，不等式解集与相应方程根的关系，难度中档．