Question

18．已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足f（x）=a^xg（x），且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），且$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，若有穷数列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N^*）的前n项和等于$\frac{31}{32}$，则n等于（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 函数f（x）、g（x）满足f（x）=a^xg（x），F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x．由于f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可得F′（x）＜0，于是函数F（x）在R上单调递减，0＜a＜1．利用$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，解得a．可得$\frac{f（n）}{g（n）}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵函数f（x）、g（x）满足f（x）=a^xg（x），∴F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，
∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴F′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）g（x）-f（x）{g}^{′}（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
∴函数F（x）在R上单调递减，∴0＜a＜1．
∵$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，
∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{f（n）}{g（n）}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴有穷数列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N^*）的前n项和=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{32}$，
解得n=5．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．