Question

6．已知实数x、y满足x²+y²=1，则$\frac{2xy}{x+y+1}$的最小值为（　　）

• A． -1-$\sqrt{2}$
• B． -1+$\sqrt{2}$
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． 1-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 实数x、y满足x²+y²=1，设x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．可得$\frac{2xy}{x+y+1}$=$\frac{2sinθcosθ}{sinθ+cosθ+1}$，令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，2sinθcosθ=t²-1．代入化简即可得出．

解答 解：∵实数x、y满足x²+y²=1，
设x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴$\frac{2xy}{x+y+1}$=$\frac{2sinθcosθ}{sinθ+cosθ+1}$，
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
t²=1+2sinθcosθ，∴2sinθcosθ=t²-1．
∴$\frac{2xy}{x+y+1}$=$\frac{{t}^{2}-1}{t+1}$=t-1∈$[-1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1]$．
∴$\frac{2xy}{x+y+1}$的最小值为-1-$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数求值、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．