Question

11．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n
（Ⅱ）若数列{b_n}是等差数列，b₁=a₁，b₃=S₂，求数列{b_n}的前20项和T₂₀．

Answer 1

分析 （I）由数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），可得数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（II）b₁=a₁=1，b₃=S₂=3．设等差数列{b_n}的公差为d，则3=1+2d，解得d，可得b_n．利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴a_n=2^n-1，S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
（II）b₁=a₁=1，b₃=S₂=2²-1=3．
设等差数列{b_n}的公差为d，
则3=1+2d，解得d=1．
∴b_n=1+（n-1）=n．
∴数列{b_n}的前20项和T₂₀=$\frac{20×（20+1）}{2}$=210．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．