Question

20．已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，且cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞，则sin＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BC}$＞的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根据cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞和|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$．故而$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$）=0，得出$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{BC}$．

解答 解：∵cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞，∴$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OC}|}$，
∵|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$）=0，∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{BC}$．
∴sin＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=sin$\frac{π}{2}$=1．
故选：A．

点评 本题考查了空间向量的数量积运算，夹角公式，向量垂直与数量积的关系，属于中档题．