Question

10．已知抛物线y²=4x上的任意一点P，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A（4，5），则|PA|+d的最小值为$\sqrt{34}$-1．

Answer 1

分析 抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线l：x=-1，过点P作PN⊥l交y轴于点M，垂足为N，则|PF|=|PN|，|PA|+d≥|AF|-1．即可得出．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线l：x=-1．
如图所示，过点P作PN⊥l交y轴于点M，垂足为N，
则|PF|=|PN|，
∴d=|PF|-1，
∴|PA|+d≥|AF|-1=$\sqrt{（4-1）^{2}+{5}^{2}}$-1=$\sqrt{34}$-1．
当且仅当A，P，F三点共线时，取得最小值$\sqrt{34}$-1．
故答案为：$\sqrt{34}$-1．

点评 本题考查了抛物线的定义及其标准方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．