Question

2．已知F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0．b＞0）的左、右焦点，其离心率为e，点B的坐标为（0，b），直线F₁B与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴，直线F₁B的交点分别为M，R，若△RMF₁与△PQF₂的面积比为e，则e的值为？

Answer 1

分析 分别求出P，Q，M的坐标，利用△RMF₁与△PQF₂的面积之比为e，|MF₂|=|F₁F₂|=2c，可得3c=x_M=$\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$，即可得出结论．

解答 解：由题意，|OB|=b，|OF₁|=c．∴k_PQ=$\frac{b}{c}$，k_MN=-$\frac{c}{b}$．
直线PQ为：y=$\frac{b}{c}$（x+c），与y=$\frac{b}{a}$x．联立得：Q（$\frac{ac}{c-a}$，$\frac{bc}{c-a}$）；
与y=-$\frac{b}{a}$x．联立得：P（$\frac{-ac}{c+a}$，$\frac{bc}{c+a}$）．
直线MN为：y-$\frac{bc}{c+a}$=-$\frac{c}{b}$（x-$\frac{-ac}{c+a}$），
令y=0得：x_M=$\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$
又△RMF₁与△PQF₂的面积之比为e，∴|MF₂|=|F₁F₂|=2c，∴3c=x_M=$\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$，
解之得：e²=$\frac{3}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．