Question

7．已知函数f（x）=-x⁴+4x³-ax²+1在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增．
（1）求a的值；
（2）记g（x）=1-bx²，若方程f（x）=g（x）的解集恰有3个元素，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可求导数，f′（x）=-4x³+12x²-2ax，而根据题意知x=1为f（x）的极值点，从而有f′（1）=0，这样即可求出a=4；
（2）由方程f（x）=g（x）可整理得到x²（x²-4x+4-b）=0，从而由题意得到一元二次方程x²-4x+4-b=0有两个不等的非零实根，从而有$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{4-b≠0}\end{array}\right.$，解该不等式组便可得出b的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=-4x³+12x²-2ax；
∵函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；
∴x=1是f（x）的极值点；
f′（1）=0，即-4•1³+12•1²-2a•1=0；
解得a=4；
（2）由f（x）=g（x）整理可得x²（x²-4x+4-b）=0；
由题意知此方程有三个不相等的实数根，又x=0为方程的一实数根；
则方程x²-4x+4-b=0应有两个不相等的非零实根；
∴△＞0，且4-b≠0，即（-4）²-4（4-b）＞0且b≠4；
解得b＞0且b≠4；
∴b的取值范围是（0，4）∪（4，+∞）．

点评 考查利用导数研究函数的单调性和极值，函数极值的概念，根的存在性及根的个数判断，以及一元二次方程实根个数和判别式△取值的关系．