Question

17．已知f（x）=log_a（1-x²），（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域：
（2）判断f（x）的奇偶性：
（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由真数部分大于0，可得函数的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义，可判断f（x）为偶函数；
（3）对a的取值进行分类讨论，结合对数函数的图象和性质，可得不同情况下使f（x）＞0的x的取值范围．

解答 解：（1）由1-x²＞0得：x∈（-1，1），
故f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，
又∵f（-x）=log_a[1-（-x）²=log_a（1-x²）=f（x），
故f（x）为偶函数；
（3）∵1-x²∈（0，1]，
当a＞1时，f（x）≤0恒成立，此时使f（x）＞0的x的取值范围为∅；
当0＜a＜1时，由f（x）＞0得：1-x²＜1，解得：x∈（-1，0）∪（0，1），
故此时使f（x）＞0的x的取值范围为（-1，0）∪（0，1）．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．