Question

16．已知直线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+t•cosα}\\{y=\frac{1}{2}+t•sinα}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ．
（1）求直线C₁的一般式方程和圆C₂的标准方程；
（2）若直线C₁与圆C₂相交于A、B两点，圆心角∠AC₂B最小时，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）直线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+t•cosα}\\{y=\frac{1}{2}+t•sinα}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程；圆C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，即ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）由于直线C₁经过定点P$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，可知：当C₂P⊥直线C₁时，圆心角∠AC₂B最小，利用勾股定理及其弦长公式即可得出．

解答 解：（1）直线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+t•cosα}\\{y=\frac{1}{2}+t•sinα}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得$y-\frac{1}{2}$=$（x-\frac{1}{2}）tanα$；
圆C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，即ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，化为x²+y²=2x+2y，配方为：（x-1）²+（y-1）²=2，可得圆心C₂（1，1），半径r=$\sqrt{2}$．
（2）由于直线C₁经过定点P$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
可知：当C₂P⊥直线C₁时，圆心角∠AC₂B最小，
此时|C₂P|=$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-|{C}_{2}P{|}^{2}}$=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、垂经定理、勾股定理及其弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．