Question

11．如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为（　　）

• A． 5
• B． 4$+\sqrt{7}$
• C． 4$+\sqrt{17}$
• D． 4$+\sqrt{19}$

Answer 1

分析 以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2m，圆上最低点O离地面1米，12s秒转动一圈，我们易得到到f（t）与t间的函数关系式，求出P的坐标，即可求出点P到点A的距离与点P的高度之和．

解答 解：以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2m，圆上最低点O离地面1米，12s秒转动一圈，
设∠OO₁P=θ，运动t（s）后与地面的距离为f（t）．
又T=12，∴θ=$\frac{π}{6}$t，∴f（t）=3-2cos$\frac{π}{6}$t，t≥0；
风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，θ=6π+$\frac{2}{3}$π，P（$\sqrt{3}$，1）
∴点P的高度3-2×（-$\frac{1}{2}$）=4
∵A（0，-3），∴AP=$\sqrt{3+16}$=$\sqrt{19}$，
∴点P到点A的距离与点P的高度之和为4+$\sqrt{19}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解答的关键．