Question

6．己知△ABC的一条内角平分线CD所在直线的方程为3x+y=0，两个顶点为A（1，2），B（-4，2）．
（1）求第三个顶点C；
（2）求△ABC的外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设出C点坐标，根据CD平分∠ACB得出cos＜$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CO}$＞=cos＜$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CO}$＞，列出方程解出．
（2）使用待定系数法解出．

解答 解：（1）∵C在直线3x+y=0上，不妨设C（x，-3x），则$\overrightarrow{CA}$=（1-x.2+3x），$\overrightarrow{CB}$=（-4-x，2+3x），$\overrightarrow{CO}$=（-x，3x）．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CO}$=-x（1-x）+3x（2+3x）=10x²-5x，$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CO}$=-x（-4-x）+3x（2+3x）=10x²+10x，
∵直线3x+y=0平分∠ACB，∴cos＜$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CO}$＞=cos＜$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CO}$＞，即$\frac{10{x}^{2}-5x}{\sqrt{（1-x）^{2}+（2+3x）^{2}}}$=$\frac{10{x}^{2}+10x}{\sqrt{（4+x）^{2}+（2+3x）^{2}}}$，
解得x=0，∴C（0，0）．
（2）设△ABC的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{5+D+2E+F=0}\\{20-4D+2E+F=0}\\{F=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{D=3}\\{E=-4}\\{F=0}\end{array}\right.$．
∴△ABC的外接圆的方程是x²+y²+3x-4y=0．

点评 本题考查了待定系数法求圆的方程，直线的位置关系，属于中档题．