Question

9．已知sinα+cosα=$\sqrt{2}$，求下列各式的值：
（1）sinαcosα；
（2）sin³α+cos³α；
（3）sin⁴α+cos⁴α；
（4）sin⁴α-cos⁴α．

Answer 1

分析 （1）由sinα+cosα=$\sqrt{2}$两边同时平方可得1+2sinαcosα=2，从而可得sinαcosα=$\frac{1}{2}$；
（2）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）结合sinαcosα=$\frac{1}{2}$，及sin²α+cos²α=1代入可求；
（3）sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2（sinαcosα）²结合sinαcosα=$\frac{1}{2}$，及sin²α+cos²α=1代入可求；
（4）利用平方差公式结合sinαcosα=$\frac{1}{2}$，及sin²α+cos²α=1代入可求．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=$\sqrt{2}$，
两边同时平方可得，1+2sinαcosα=2，
∴sinαcosα=$\frac{1}{2}$．
（2）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2（sinαcosα）²
=1-2×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$．
（4）sin⁴α-cos⁴α=（sin²α+cos²α）（sin²α-cos²α）=sin²α-cos²α=（sinα+cosα）（sinα-cosα）=$\sqrt{2}$×$\sqrt{1-2sinαcosα}$=0．

点评 本题主要考查了同角平方关系的应用，解题中要注意一些常见式子的变形形式，属于公式的基本应用．