Question

5．已知$y=sin（\frac{π}{6}-2x）+cos2x$
（1）将已知函数化为$y=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|≤\frac{π}{2}）$的形式；
（2）求出函数的最大值及取得最大值时的x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函数值，三角函数中的恒等变换应用化简原式可得y=$-\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{3}）$，从而得解．
（2）利用正弦函数的图象和性质即可解得函数的最大值及取得最大值时的x的集合．

解答 （本题满分为7分）
解：（1）原式y=sin$\frac{π}{6}$cos2x-cos$\frac{π}{6}$sin2x+cos2x
=$\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+cos2x$
=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{3}{2}cos2x$
=$-\sqrt{3}（\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x）$
=$-\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{3}）$．…（4分）
（2）∵y=$-\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{3}）$．
∴当$2x-\frac{π}{3}=2kπ-\frac{π}{2}（k∈Z）$，即$x=kπ-\frac{π}{12}（k∈Z）$时，函数取得最大值是$\sqrt{3}$，
∴取得最大值时x的集合为：$\{\left.x\right|x=kπ-\frac{π}{12}，（k∈Z）\}$．…（7分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．