Question

8．如图，A，B，C，O₁，O₂∈平面α，AB=BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，D为动点，DC=2，且DC丄BC，当点D从O₁，顺时针转动到O₂的过程中（D与O₁、O₂不重合），异面直线AD与BC所成角（　　）

• A． 一直变小
• B． 一直变大
• C． 先变小，后变大
• D． 先变小，再变大，后变小

Answer 1

分析 以C为原点，CB为x轴，CO₂为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

解答 解：以C为原点，CB为x轴，CO₂为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，0），设O₁O₂=2t，∠O₂CD=θ，0°≤θ≤180°，
则CD=t，D（0，tcosθ，tsinθ），
$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$，tcosθ+$\sqrt{3}$，tsinθ），
设异面直线AD与BC所成角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3}•\sqrt{3+（tcosθ+\sqrt{3}）^{2}+（tsinθ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6+{t}^{2}+2\sqrt{3}tcosθ}}$，
∵当点D从O₁，顺时针转动到O₂的过程中（D与O₁、O₂不重合），
cosθ从-1增加到1，cosα在（0，1）内递减，
∴异面直线AD与BC所成角一直变小．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的变化范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．