Question

18．直线l过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为（3，2），则抛物线C的方程为y²=4x或y²=8x．

Answer 1

分析 先利用点差法，求出AB的斜率，可得直线AB的方程为y=$\frac{p}{2}$（x-$\frac{p}{2}$），代入y²=2px，利用中点坐标公式，即可得出抛物线C的方程．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
两式相减可得：y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂），
∴k_AB=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{p}{2}$，
直线AB的方程为y=$\frac{p}{2}$（x-$\frac{p}{2}$），代入y²=2px，可得4px²-（4p²+32）x+p³=0
可得x₁+x₂=$\frac{{p}^{2}+8}{p}$=6，解之得p=2或4，
∴物线C的方程为y²=4x或y²=8x．
故答案为：y²=4x或y²=8x．

点评 本题考查抛物线C的方程，考查点差法，考查学生的计算能力，比较基础．